METODOS CUANTITATIVOS

EL CÁLCULO DIFERENCIAL Y LA TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)

En una primera instancia, parecería que no existe conexión entre el Cálculo Diferencial y su aplicación en las Finanzas, o dicho de otra forma, no lo tenemos muy claro, quizás. Por esta misma razón te queremos presentar una pequeña aplicación del Cálculo Diferencial en el campo de las Finanzas. Aunque debemos aclarar que existen muchas aplicaciones más.

Los inicios del Cálculo Diferencial se remontan, por una parte, con Isaac Newton (1643-1727) y con Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716). Lo que debemos reconocer es que sin sus aportaciones, de forma independiente (Newton-Leibniz), la humanidad hubiera tardado más años en descubrir y aplicar su gran potencial de análisis y uso del Cálculo Diferencial. 

La Tasa Interna de Retorno (TIR) ha pasado a ser una herramienta importante para la toma de decisiones de inversión en una gran variedad de proyectos, y un tema infaltable en los planes de estudio de diversas licenciaturas; para el análisis de la inversión empresarial, la planificación de proyectos de infraestructura y la valoración de activos financieros. La TIR se ha convertido en una medida fundamental para evaluar la rentabilidad de las inversiones.

Te mostramos un pequeño ejemplo, a partir de los siguientes flujos de efectivo (-1000, 300, 400 y 550), utilizando el Método de Newton (un método numérico iterativo, es decir, que lleva varios pasos para encontrar el valor óptimo, a partir de un valor inicial) que se define de la siguiente manera: 

x1=x0-  (f(x0))/(f´(x0))  donde  f´(x0) representa la derivada de la función f(x0)  

 Si lo aplicamos al flujo de efectivo, en valores presentes:

0=∑_(i=0)^n  (-1000)/((1+r)^0 ) + 300/((1+r)^1 ) + 400/((1+r)^2 ) + 550/((1+r)^3 )    

Donde debemos de encontrar un valor de r óptimo que iguale a la expresión anterior a cero, a partir de un valor inicial. 

Aplicando el Método de Newton: 

r1=r0-(f(r0) )/(f´(r0) )       →       r1=r0-(∑_(i=0)^n  (-1000)/((1+r0)^0 )  + 300/((1+r0)^1 )  + 400/((1+r0)^2 )  + 550/((1+r0)^3 ))/(∑_(i=2)^n  (-300)/((1+r0)^2 )  - (-800)/((1+r0)^3 )  - (-1650)/((1+r0)^4 ))

  r2=r1-(∑_(i=0)^n  (-1000)/((1+r1)^0 )  + 300/((1+r1)^1 )  + 400/((1+r1)^2 )  + 550/((1+r1)^3 ))/(∑_(i=2)^n  (-300)/((1+r1)^2 )  - (-800)/((1+r1)^3 )  - (-1650)/((1+r1)^4 ))      Donde el algoritmo se detiene cuando: 

|rj-ri|<ϵ     Donde: ϵ=10-8   

 La solución del presente ejemplo, después de tres pasos en ejecutar el Método de Newton, es de 10.85%. Una vez de comparar el resultado obtenido con alguna tasa de interés libre de riesgo de referencia, por ejemplo la Tasa de CETES. Si es menor la TIR obtenida (10.85%) a la tasa de referencia, el presente proyecto de inversión no sería rentable.

Hoy en día, la existencia de herramientas tan poderosas como lo es la Inteligencia Artificial (entre muchas aplicaciones más) no serían aplicables sin el uso del Cálculo Diferencial. La importancia de conocer acerca del Cálculo Diferencial para poder comprender nuestro entorno es de suma importancia.

Si te interesa saber cómo se programa en Python, el ejemplo anterior, te compartimos el siguiente enlace:  https://github.com/Alexramsilva/TIR.git